Лидер и аутсайдеры
На рынке ауры спрос задаётся функцией $Q_d=1-P$ , где $P$– цена на рынке. Ауру производят 3 фирмы— 1 лидер и 2 аутсайдера. Фирмы знают всю информацию друг о друге(т.е.на рынке олигополия).Взаимодействие происходит таким образом, что сначала лидер называет свой объем производства, затем две оставшиеся фирмы(аутсайдеры) одновременно называют свой объем производства. Издержки у каждой фирмы одинаковы и задаются функцией $TC=Q^2$.
Подпункты
а)
Найдите равновесные объемы производства, цену и прибыль каждой фирмы.
б)
Государство обеспокоились тем, что фирма лидер обладает большей властью и ввела на неё(на аутсайдеров налог не накладывается) потоварный налог по ставке $t$, чтобы фирмы стали производить одинаковый объем товара. Найдите значение $t$.
в)
Теперь государство хочет максимизировать налоговые сборы, вводя потоварный налог по ставке $t_2$ на все фирмы.Найдите значение $t_2$.
Решение
а) Запишем функцию прибыли для аутсайдеров. $\pi_2=(1-q_1-q_2-q_3)q_2-q_2^2$ Относительно $q_2$ ЭПВВн. Значит: $ q_2*=(1-q_1-q_3) /4$ (1) Аналогично мы получаем: $ q_3*=(1-q_1-q_2) /4$ (2) Решая систему из 1 и 2 уравнения мы получаем,что: $q_2*=q_3*=0.2(1-q_1)$ Функция прибыли лидера: $\pi_1=(1-q_1-q_2-q_3)q_1-q_1^2=0.6(1-q_1)q_1-q_1^2$ Относительно $q_1$ ЭПВВн. Значит $q_1*=0.6/3.2=0.1875$ Подставим значения и получим, что: $q_2*=q_3*=0.1625$ $P=0.4875$ $\pi_1*=0,05625$ $\pi_2*=\pi_3*=0,0528125$ б) Запишем функцию прибыли ч по товарным налогом фирмы лидера: $\pi_1=(1-t-q_1-q_2-q_3)q_1-q_1^2=(0.6(1-q_1) -t)q_1-q_1^2$ Относительно $q_1$ ЭПВВн. Значит: $q_1*=(0.6-t)/3.2$ Т.к. мы хотим, чтобы фирмы имели одинаковый объем производства, то: $q_1=q_2=q_3=0.2(1-q_1)$ $q_1=0.2(1-q_1)$ $q_1=1/6$ $q_1=(0.6-t) /3.2=1/6$ $t=1/15$ в) Государство вводит потоварный налог $t_2$ на все три фирмы, чтобы максимизировать налоговые сборы $T = t_2 \cdot Q$, где $Q = q_1 + q_2 + q_3$. Найдём, как аутсайдеры реагируют на выбор лидера при налоге $t_2$. У аутсайдера прибыль $\pi_2 = P \cdot q_2 - q_2^2 - t_2 q_2$, где цена $P = 1 - (q_1 + q_2 + q_3)$. Максимизируем $\pi_2$ по $q_2$, считая $q_1$ и $q_3$ заданными. Производная: $\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 1 - q_1 - q_3 - 4q_2 - t_2 = 0$. В силу симметрии аутсайдеров $q_2 = q_3 = q_a$. Подставляем: $1 - q_1 - q_a - 4q_a - t_2 = 0$ $\Rightarrow 1 - q_1 - t_2 = 5 q_a$ $\Rightarrow q_a = \frac{1 - q_1 - t_2}{5}$. Теперь задача лидера, который тоже платит налог $t_2$. Его прибыль: $\pi_1 = [1 - (q_1 + 2q_a)]q_1 - q_1^2 - t_2 q_1$. Подставляем выражение для $q_a$: $Q = q_1 + 2q_a = q_1 + \frac{2(1 - q_1 - t_2)}{5} = \frac{2 - 2t_2 + 3q_1}{5}$. Цена $P = 1 - Q = \frac{3 + 2t_2 - 3q_1}{5}$. Тогда $\pi_1 = \frac{3 + 2t_2 - 3q_1}{5} q_1 - q_1^2 - t_2 q_1$. Упрощаем: $\pi_1 = \frac{3q_1 - 8q_1^2 - 3t_2 q_1}{5}$. Максимизируем по $q_1$: $\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = \frac{3 - 16q_1 - 3t_2}{5} = 0$ $\Rightarrow 3 - 16q_1 - 3t_2 = 0$ $\Rightarrow q_1 = \frac{3 - 3t_2}{16}$. Теперь $q_a = \frac{1 - q_1 - t_2}{5} = \frac{1 - \frac{3 - 3t_2}{16} - t_2}{5}$. Приводим к общему знаменателю 16 в числителе: Числитель: $\frac{16 - 3 + 3t_2 - 16t_2}{16} = \frac{13 - 13t_2}{16}$, тогда $q_a = \frac{13 - 13t_2}{80} = \frac{13(1 - t_2)}{80}$. Общий выпуск $Q = q_1 + 2q_a = \frac{3 - 3t_2}{16} + \frac{26(1 - t_2)}{80}$. Приводим к общему знаменателю 80: $q_1 = \frac{15(1 - t_2)}{80}$, $2q_a = \frac{26(1 - t_2)}{80}$, сумма: $Q = \frac{15(1 - t_2) + 26(1 - t_2)}{80} = \frac{41(1 - t_2)}{80}$. Налоговые сборы: $T = t_2 \cdot Q = t_2 \cdot \frac{41(1 - t_2)}{80} = \frac{41}{80}(t_2 - t_2^2)$. Это парабола, ветви вниз, максимум в вершине: $t_2 = \frac{1}{2}$. (все оптимумы можно находить и как виршину попаболы ветвями вниз)