Феодал и крестьянин
В некоторой стране есть два экономических агента — Феодал и Крестьянин. Урожай крестьянина ($Y$) зависит как от его усилий ($e$), так и от природных факторов ($Z$, где $0 < Z < 1$): $Y=e+Z$. Жизнь Крестьянина нелегка. Во-первых, труд его тяжел: свои издержки на уровень усилий $e$ Крестьянин оценивает в $e^2/2$ единиц урожая. Во-вторых, Феодал изымает у Крестьянина в виде оброка долю $t$ урожая, причем эту ставку Феодал устанавливает так, чтобы максимизировать физический объем урожая, который он получит. Крестьянин же максимизирует количество остающегося у него урожая за вычетом издержек на усилия, то есть величину $U=(1-t)Y-e^2/2$. Более детально процесс взаимодействия Феодала и Крестьянина во времени выглядит так: I. Оба узнают значение $Z$; II. Феодал назначает ставку оброка $t$; III. Зная ставку оброка, Крестьянин выбирает уровень усилий $e$; IV. Крестьянин трудится, прилагая выбранный уровень усилий $e$, и долю $t$ урожая отдает Феодалу. Оба агента «сотрудничают» давно и знают, какую именно целевую функцию максимизирует каждый из них. а) Найдите выбираемую Феодалом ставку оброка $t^*$ и выбираемый Крестьянином уровень усилий $e^*$ как функции от природных условий $Z$. Возрастают или убывают функции $t^*(Z)$ и $e^*(Z)$? Поясните интуитивно. б) Верно ли, что чем благоприятнее природные условия, тем крестьянину будет лучше? Если Ваш ответ «нет», то из-за чего возникает такой «парадоксальный» результат? Кроме того, если Ваш ответ «нет», найдите значение $Z$, при котором $U$ максимально.
Решение
(а) Будем решать задачу с конца. Если ставка t уже установлена, то Крестьянин будет решать задачу $(1-t)(e+Z)-e^2/2 \Rightarrow max$. График целевой функции является параболой с ветвями вниз, и оптимальный уровень усилий находится в вершине этой параболы: e=1-t. Как и следовало ожидать, чем больше ставка оброка, тем меньше усилий будет прилагать крестьянин. Феодал может решить ту же задачу за Крестьянина, и потому будет знать, что после назначения ставки t уровень усилий будет лишь 1-t. Он будет назначать t так, чтобы максимизировать величину T=t(e+Z)=t(1-t+Z). График этой функции также является параболой, и Феодал выберет $t=t_e=(1+Z)/2$. Чем лучше природные условия, тем большую ставку оброка будет назначать Феодал. Подставляя теперь эту ставку в формулу для усилий, окончательно получаем усилия как функцию от природных условий: $e=1-(1+Z)/2=(1-Z)/2$. Чем лучше природные условия, тем меньше усилий будет в итоге прилагать крестьянин: ведь при лучших условиях Феодал назначит большую ставку оброка, и предельные выгоды от усилий снизятся. Итак, ответ на вопрос пункта: t(Z)=(1+Z)/2, e(Z)=(1-Z)/2. (б) Подставим t(Z) и e(Z) в целевую функцию Крестьянина: $(1-t(Z))(e(Z)+Z)-\frac{(e(Z))^2}{2}=1/8(1-Z)(1+3Z)$. График этой функция также является параболой с ветвями вниз, и ее вершина находится ровно посередине между корнями, то есть в точке $Z=\frac{1+(-1/3)}{2}=1/3$. Поскольку вершина принадлежит отрезку [0;1], то действительно, можно заключить, что данная функция немонотонна по Z на данном отрезке: сначала она возрастает, а затем убывает. Таким образом, неверно, что чем больше Z, тем крестьянину лучше: при Z>1/3 улучшение природных условий будет лишь ухудшать положение Крестьянина, несмотря на то, что Z как таковое входит в его целевую функцию с положительным знаком. Как объяснить данный парадокс? Дело в том, что рост Z оказывает несколько эффектов на полезность Крестьянина: 1) Его урожай при данном уровне усилий становится больше; 2) Феодал назначает более высокую ставку оброка, что при данном урожае сокращает долю урожая, которая достается Крестьянину. 3) Усилия Крестьянина сокращаются (из-за роста ставки оброка), что уменьшает и сам валовый объем урожая. Первый эффект увеличивает полезность Крестьянина, а вторые два — уменьшают. От того, какая из сил перевесит, и зависит, будет Крестьянину лучше или хуже при улучшении природных условий. Модели, похожие на ту, что была рассмотрена в данной задаче, используются для анализа такого известного феномена, как ресурсное проклятье.