Барон и Крестьянин
В средневековой Бургуляндии живет могучий Барон, на землях которого трудится несчастный Крестьянин, уплачивающий Барону ежегодный оброк (налог в виде части урожая). Крестьянин может выбирать, сколько месяцев в течение года работать, а сколько — отдыхать (в году 12 месяцев). Урожай, собранный крестьянином, равен удвоенному количеству отработанных им месяцев.
В начале года Барон устанавливает долю $t$ урожая, которую Крестьянин обязан отдать барону в конце года. Узнав ставку налога, Крестьянин решает, сколько месяцев в году он готов трудиться. Доход Барона равен размеру собранного оброка, полезность (то есть удовольствие) Крестьянина равна $U = Y+R$, где $Y$ – размер урожая, остающийся у Крестьянина после уплаты оброка, а $R$ – количество месяцев, которые Крестьянин отдыхает.
Крестьянин стремится максимизировать полезность, а барон — размер полученного оброка. Барон и крестьянин взаимодействуют друг с другом много лет и знают целевые функции друг друга. Какую долю урожая $t^*$ потребует барон в качестве оброка?
В начале года Барон устанавливает долю $t$ урожая, которую Крестьянин обязан отдать барону в конце года. Узнав ставку налога, Крестьянин решает, сколько месяцев в году он готов трудиться. Доход Барона равен размеру собранного оброка, полезность (то есть удовольствие) Крестьянина равна $U = Y+R$, где $Y$ – размер урожая, остающийся у Крестьянина после уплаты оброка, а $R$ – количество месяцев, которые Крестьянин отдыхает.
Крестьянин стремится максимизировать полезность, а барон — размер полученного оброка. Барон и крестьянин взаимодействуют друг с другом много лет и знают целевые функции друг друга. Какую долю урожая $t^*$ потребует барон в качестве оброка?
Решение
$U = (1-t)\cdot2(12-R) + R = 24(1-t) + R(1-2(1-t)).$ Если $t > 0.5,$ то он будет отдыхать по максимуму, а значит Барон ничего не получит. Поэтому Барон назначит $t = 0.5$.