Задача 3 ОЧ-2015 (11 класс)
В стране Файтклабии производится один единственный товар – мыло. Только две фирмы имеют лицензии на мыловарение в стране: фирма N использует производственную функцию $Y_{N}=L_{N}^{\alpha}$, в то время как производственная функция фирмы $T$ имеет вид $Y_{T} = 2L_{T}^{\alpha}$ , где $L_{i}$ – количество рабочих, работающих на фирме i, $Y_{i}$ – количество мыла, производимого фирмой i за год (i = N,T). Общее количество рабочих в экономике составляет $500$ человек. Вас просят помочь правительству страны в принятии мер по повышению эффективности экономики страны.
Подпункты
а)
Сколько человек должны работать на каждом предприятии, чтобы выпуск мыла в стране был максимальным, если $\alpha = 2$?
б)
Сколько человек должны работать на каждом предприятии, чтобы выпуск мыла в стране был максимальным, если $\alpha = 0.5$?
в)
Предположим, что правительство страны не знает, которая из двух фирм N и T . Поэтому вместо того, чтобы самому распределить трудовые ресурсы между предприятиями, государство решает положиться на "невидимую руку рынка". Предполагая, что $\alpha = 0.5$ и каждая фирма воспринимает цену мыла и заработную плату заданными, найдите равновесное распределение работников между двумя фирмами, а также отношение цены мыла к заработной плате. Сравните выпуск мыла при распределении ресурсов правительством и выпуск мыла в рыночном равновесии.
г)
При каких обстоятельствах распределение ресурсов между фирмами может оказаться неэффективным в реальной экономике? Назовите как можно больше причин. Под эффективностью в этом случае понимается эффективное распределение ресурсов, т.е. распределение, максимизирующее суммарный объем производства мыла в экономике.
д)
Предположим, что правительство Файтклабии по-прежнему не умеет различать фирмы N и T, более того, знает лишь, что их производственные функции имеют вид $Y_{i} = A_{i}L_{i}^{\alpha}$, где $i = N,T,0 < \alpha < 1$ ($\alpha$ одинаковая для обеих фирм), а производительности $A_{N}$ и $A_{T}$ правительству неизвестны. В своих бюджетных декларациях фирмы честно указывают лишь количество рабочих и количество произведенного мыла. Может ли правительство определить, является ли распределение ресурсов в экономике эффективным, используя лишь эту имеющуюся у него информацию?
Решение
1. В этом случае фирмы работают с возрастающей отдачей от масштаба. Соответственно выгодно сконцентрировать все трудовые ресурсы на одном предприятии. Так как производительность фирмы T выше, оптимальное распределение ресурсов $L_{N}=0;L_{T}=500$. Более формально, предельный продукт труда на втором предприятии выше для всех значений $L_{T}$ , чем предельный продукт труда первой фиры. 2. В этом случае обе фирмы используют технологии с убывающей отдачей от масштаба, а потому максимальный выпуск мыла достигается, когда обе фирмы нанимают положительное количество работников. Формально задача имеет вид: $$ \underset{0 \lt L_{N} \lt 500}{max}\{\sqrt{L_{N}}+2\sqrt{500-L_{N}}\} $$ Отсюда находим $L_{N} = 100,L_{T} = 400$. 3. Обозначим цену мыла через p, а заработную плату в экономике – через w. Тогда задача фирмы N имеет вид: $$\underset{L_{N}}{max}\{p\sqrt{L_{N}-wL_{N}}\}$$ Условие оптимальности можно интерпретировать как спрос фирмы на труд: $$L_{N}=0.25\left(\dfrac{p}{w}\right)^{2}$$ Аналогично для второй фирмы получаем $L_{T}=\left(\dfrac{p}{w}\right)^{2}$. Далее используем условие равенства спроса и предложения на рынке труда: $$ L_{N}+L_{T}=1,25\left(\dfrac{p}{w}\right)^{2}=500. $$ Таким образом, в рыночном равновесии $\dfrac{p}{w}= 20,L_{N} = 100,L_{T} = 400.$ Так как распределение ресурсов в равновесии такое же, как в пункте 2, производство мыла максимизируется без вмешательства правительства. В этом и состоит эффект «невидимой руки рынка» Адама Смита. 4. В реальной экономике существует множество причин, по которым распределение ресурсов может быть субоптимальным. Некоторые примеры: (a) рыночная власть фирм (как на рынке товара, так и на рынке факторов производства): крупным фирмам может быть выгодно занижать объем производства по сравнению с оптимальным уровнем, чтобы сбить цены на факторы производства и повысить цену на свою продукцию. (b) несовершенные рынки капитала мешают растущим фирмам занимать достаточное количество ресурсов для развития. Это, в свою очередь, может быть связано с асимметричной информацией (кредиторы имеют лишь приближенное представление о состоянии дел фирмы-заёмщика) и ограниченной ответственностью фирм (если долги слишком велики, фирма всегда может объявить о банкротстве). (c) несовершенные рынки труда: поиск подходящих вакансий занимает у работников много времени, а поиск качественных работников требует дополнительных расходов от фирм. Таким образом, количество нанятых работников может оказаться ниже оптимального значения. (d) изменение физического запаса капитала и количества работников на фирме может потребовать дополнительных издержек от фирмы. Из-за этого объем используемых факторов производства может меняться с лагом после изменения производительности фирмы, что приводит к субоптимальному распределению ресурсов. (e) различные налоги способны искажать решения фирм о количестве нанимаемых работников, инвестициях в капитал и объемах производства. (f) коррупция и связи фирм с государственными структурами могут создавать неравные условия, что также искажает распределение ресурсов между фирмами. (g) наличие внешних эффектов (h) фирмы могут не максимизировать прибыль 5. Обобщая задачу из пункта 2, получаем: $$ \underset{L_{N}}{max}\{A_{N}L_{N}^{\alpha}+A_{T}(500−L_{N})^{\alpha}\} $$ Условие оптимального распределения ресурсов: $$ \alpha A_{N}L_{N}^{\alpha-1}=\alpha A_{T}(500−L_{N})^{\alpha-1} $$ которое можно переписать как $$ \dfrac{Y_{N}}{L_{N}}=\dfrac{Y_{T}}{L_{T}} $$ Это условие вместе с ограничением $L_{N} + L_{T} = 500$ определяет распределение ресурсов в экономике. Поскольку второе условие всегда выполнено, правительству, чтобы понять, эффективно ли распределение ресурсов в экономике, достаточно проверить, что средний продукт равен на двух фирмах.