Фактор Z
Фирма A является единственным потребителем фактора z. Известно, что цена единицы продукции, производимой фирмой А, равна 2, а производственная функция имеет вид $F(z)=12z-0.5z^2$ . Фирма B является единственным производителем фактора z, причем совокупные альтернативные издержки найма фактора в количестве z представимы функцией $TC(z)=z^2$. Информация о функциях $F(z)$ и $TC(z)$ известна всем агентам. Каждая фирма стремится максимизировать свою прибыль. (a) Предположим, что фирма А знает функцию совокупных альтернативных издержкек найма фактора фирмы В. Предположим также, что фирма A выбирает цену единицы данного фактора, а затем фирма B, принимая эту цену как данную, решает, какое количество данного фактора она готова произвести и продать фирме A при этой цене. Найдите цену фактора, максимизирующую прибыль фирмы А, и количество фактора, которое при этой цене продаст фирма B. (б) Предположим теперь, что фирма В знает производственную функцию фирмы А и выбирает цену фактора, а фирма A, принимая эту цену как данную, решает, сколько фактора купить при этой цене. Найдите цену, максимизирующую прибыль фирмы B и количество фактора, которе фирма A приобретет по этой цене. (в) Если фирмы A и B объединились, то какое количество фактора будет производить интегрированная фирма? Как соотносится прибыль новой компании с суммарной прибылью фирм в случаях (а) и (б)? Будет ли полученное соотношение прибыли справедливо для любой возрастающей функции альтернативных издержек? (г) Пусть взаимодействие фирмы А с поставщиком фактора производства соответствует ситуации, представленной в пункте (а). Однако правительство хочет, чтобы уровень занятости фактора соответствовал значению, выбираемому интегрированной фирмой, рассмотренной в пункте (в). Можно ли решить поставленную задачу за счет использования потоварного налога или потоварной субсидии с некой фиксированной ставкой. Найдите соответствующую ставку налога/субсидии и укажите, кто должен платить налог (получать субсидию) или покажите, что такого налога (субсидии) не существует.
Решение
(a) Фирма А выбирает цену, принимая во внимание решение фирмы В, т.е. количество, которое фирма В захочет продать при данной цене. Подобная зависимость между ценой и количеством описывается функцией предложения. Найдем функцию предложения фирмы В, решив ее задачу максимизации прибыли: $$\max_{z \geq 0} [wz- TC(z)]=\max_{z \geq 0} [wz-z^2]$$ Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть $z=w/2$. Итак, функция предложения фирмы В имеет вид $z^{s}(w)=w/2$. Тогда фирма А будет выбирать цену, которая приносит ей максимальную прибыль с учетом данной функции предложения поставщика фактора: $$\max_{w\geq 0} (pF(z^s(w))-wz^s(w))=\max_{w\geq 0} (12w-0.25w^2-0.5w^2)=\max_{w\geq 0} (12w-0.75w^2)$$ Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть $w=12/1.5=8$. Подставляя это значение в функцию предложения, находим $z^s(8)=8/2=4$. (б) Фирма B выбирает цену, принимая во внимание решение фирмы A, т.е. количество, которое фирма А захочет купить при данной цене. Подобная зависимость между ценой и количеством описывается функцией спроса. Найдем функцию спроса фирмы А, решив ее задачу максимизации прибыли: $$\max_{z\geq 0} pF(z)-wz$$ Заметим, что целевая функция представима вогнутой функцией (парабола с ветвями вниз), а потому условие первого порядка будет необходимым и достаточным. Выпишем условие первого порядка $24-2z=w$ или $z^d(w)=12-0.5w$. Заметим, что полученное условие справедливо при $w \leq 24$. Если $w > 24$, то величина спроса на фактор будет равна нулю. Итак, выбирая цену фактора, фирма B будет решать следующую задачу $$\max_{w\geq 0} [wz^d (w) - TC (z^d (w))]$$ Задача фирмы примет вид $\max_{w\geq 0} (w(12-0.5w)-(12-0.5w)^2)$. Условие первого порядка: $12-w+12-0.5w=0$. Преобразовав, находим $24=1.5w$ или $w=16$. В соответствии с функией спроса на фактор $z^d(16)=12-0.5\times 16=4$. (в) Задача интегрированной фирмы примет вид: $$\max_{z\geq 0} (pF(z)-TC(z))= \max_{z\geq 0} (24z-z^2-z^2)$$ Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть $z=24/4=6$. В результате прибыль интегрированной фирмы составит $\pi ^c =(24z-2z^2)=6(24-12)=72$. Суммарная прибыль двух фирм в случаях (а) и (б) будет одинакова, поскольку совпало равновесное количество фактора $\pi ^a=\pi ^b=(24-2z^2)=4(24-8)=64$, что меньше прибыли, полученной интегрированной фирмой. Данный результат несложно обобщить. Суммарная прибыль двух фирм: $(pF(z)-wz)+(wz-TC(z))=(pF(z)-TC(z))$. Поскольку интегрированная фирма выбирает уровень занятости фактора, максимизируя это выражение, то она всегда может выбрать уровень занятости фактора, соответствующий выбору в случаях (а) или (б), то есть прибыль интегрированной фирмы всегда не меньше, чем прибыль в случаях (а) и (б). Более того, интегрированная фирма может (в некоторых случаях) выбрать другой уровень занятости, который приносит более высокую прибыль по сравнению со случаями (а) и (б). (г) Поскольку желаемый уровень занятости превышает фактический (выбираемый в пункте (а)), то для увеличения уровня занятости будем субсидировать использование фактора производства, выплачивая потребителю этого фактора субсидию со ставкой за каждую единицу фактора . В итоге задача фирмы А примет вид $$\max_{w\geq 0} (pF(z^s (w))-(w-s)z^s(w))=\max_{w\geq 0} (12w-0.25 w^2-0.5w(w-s))=\max_{w\geq 0} ((12+0.5s)w-0.75w^2)$$ Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть $w=(12+0.5s)/1.5=8+s/3$. Подставляя в функцию предложения, находим $z^s(8+s/3)=4+s/6=6$ при $s=12$. Результат об инвариантности получателя субсидии - 2 балла. Заметим, что не имеет значения, будет ли данную субсидию получать покупатель или поставщик фактора производства. Обоснование.