Реклама чудо-вешалок
Компания «Успех» является монополистом на рынке чудо-вешалок. В настоящий момент ее продукцию приобретают $200$ покупателей, и прибыль компании равна $900$ тыс. руб. Известно что функция индивидуального спроса у всех покупателей одинакова и имеет линейный вид. Но далеко не все знают о замечательных чудо-вешалках, и фирма начинает всерьез задумываться о проведении рекламной кампании. Известно, что привлечение $n>0$ дополнительных покупателей обойдется компании в $\left( {0,01n^2 + 1,51n + 43,5} \right)$ тыс. руб. На какое увеличение прибыли (в процентах от настоящей суммы) может рассчитывать фирма в результате проведения рекламной кампании, если постоянные издержки (помимо расходов на рекламу) отсутствуют, а предельные издержки производства чудо-вешалок постоянны?
Ответ
на $20\%$.
Решение
$Q_d^{market} = N(a - bP)$,где $N$ – общее число покупателей; $P = \frac{a}{b} - \frac{Q} {{bN}}$. Найдем, какие выпуск и цену выберет фирма, а также какую максимальную прибыль (без учета расходов на рекламу) она получит при каждом числе покупателей: $ MR = \frac{a} {b} - \frac{{2Q}} {{bN}} = MC = c = const $ $Q^* (N) = \frac{{(a - bc)N}} {2}$ $P^* (N) = \frac{{a + bc}} {{2b}} = const$ $\pi ^* (N) = \frac{{a + bc}} {{2b}} \cdot \frac{{(a - bc)N}} {2} - c\frac{{(a - bc)N}} {2} $. Таким образом,$\pi ^* (N) = K \cdot N$, где $K$ – некий коэффициент, зависящий от параметров спроса и издержек монополиста, а $N$ – общее число покупателей. $900 = K \cdot 200 \Rightarrow K = 4,5 $. «Предельный доход» монополиста от привлечения $n$-ного дополнительного покупателя будет равен $\pi (200 + n) - \pi (200 + n - 1) = K(200 + n) - K(200 + n - 1) = K = 4,5$. Предельные же издержки на его привлечение равны $0,01n^2 + 1,51n + 43,5 - 0,01(n - 1)^2 - 1,51(n - 1) - 43,5 = 0,02n + 1,5$. Приравнивая предельный доход к предельным издержкам, получаем $4,5 = 0,02n* + 1,5 \Rightarrow n* = 150$. При оптимальном поведении фирмы количество покупателей ее продукции увеличится на $150$ человек и станет равным $350$. Прирост прибыли составит $4,5 \cdot 150 - 0,01 \cdot 150^2 - 1,51 \cdot 150 - 43,5 = 180$тыс. руб., или $20\%$ от суммы прибыли в настоящий момент. Ответ: на $20\%$. Примечание: При определении предельного дохода от рекламы и предельных издержек на нее использовались приращения, а не производные, так как число покупателей может быть только целым. Если бы корень $n*$ уравнения $MR(n) = MC(n)$ оказался не целым, то в качестве ответа надо было бы взять целое число, находящееся между $n*$ и $n*-1$. О максимизации функции с целыми значениями аргумента см. также задачу "1000 спросов". Ср. данную задачу с "Задачей о Поле Чудес" . Попробуйте решить данную задачу, не пользуясь предпосылкой о линейности спроса.