Оптимальная складчина
Саша и Максим живут в одной комнате в общежитии. Для счастливой жизни им очень нужны пылесос и WiFi-роутер. Оба соседа считают, что эти товары необходимо купить, но насчет того, какого качества должны быть эти роутер и пылесос, мнения ребят расходятся. Счастье Саши можно рассчитать по формуле $U_S=4\sqrt{r}+7\sqrt{p}-T_S$, где $U_S$ - уровень счастья Саши, $r$ - качество роутера, $p$ - качество пылесоса, а $T_S$ - расходы Саши (в рублях). Счастье Максима, в свою очередь, задается уравнением $U_M=\sqrt{r}+6\sqrt{p}-T_M$, где $T_M$ - расходы Максима. Роутер качества $r$ стоит $r$ рублей; пылесос качества $p$ стоит $2p$ рублей. Каждый из ребят принимает решения так, чтобы его счастье было максимально. Саша учится на экономическом факультете и не любит, когда товары находятся в коллективной собственности. Саша предлагает следующий механизм: он купит роутер, а Максим - пылесос. Пользоваться обоими товарами соседи будут вместе. Определите уровни качества роутера и пылеcоса, которые будут куплены соседями, и уровни счастья соседей. Максим учится на юридическом факультете и считает схему из пункта 1 несправедливой (пылесосы дороже роутеров), а свой уровень счастья в 1 - слишком низким. Он предлагает другой механизм: Саша покупает роутер, Максим - пылесос, но потом расходы на оба товара делятся поровну. Определите уровни качества роутера и пылеcоса, которые будут куплены соседями и уровни счастья соседей в новой ситуации. Верно ли, что счастье Максима действительно вырастет по сравнению с пунктом 1 ? Если ваш ответ «нет», приведите содержательное экономическое объяснение того, почему Максиму не становится лучше. Допустим, что, как и в пункте 2 , соседи договорились о разделении расходов, но теперь расходы можно делить не поровну. А именно, допустим, что, после того как Саша покупает роутер, а Максим — пылесос, один из друзей выплачивает другому компенсацию таким образом, чтобы Максим в итоге оплатил долю $\alpha$ ($0<\alpha<1$) от суммарных расходов соседей. Можно ли подобрать $\alpha$ таким образом, чтобы счастье каждого из соседей выросло по сравнению с пунктом 1 ? Если ваш ответ «да», приведите содержательное экономическое объяснение того, почему это возможно.
Решение
Саша выберет значение $r$ так, чтобы значение величины $4\sqrt{r}+7\sqrt{p}-r$ было максимальным. Заметим, что эта функция является квадратичной относительно $\sqrt{r}$, ветви параболы направлены вниз, и поэтому максимум достигается в вершине параболы (так будет со всеми функциями, которые мы будем максимизировать в данной задаче). Получаем, что $\sqrt{r}=2$, откуда $r=4$. Заметим, что оптимальное значение $r$ не зависит от $p$, то есть от действий Максима. Аналогично, Максим будет максимизировать величину $\sqrt{r}+6\sqrt{p}-2p$ по $p$. Независимо от $r$, максимум достигается при $p=9/4$. Подставляя найденные значения $p$ и $r$ в функции счастья, получаем, что уровни счастья будут равны 14,5 для Саши и 6,5 для Максима. Теперь Саша будет решать максимизировать по $r$ значение величины $4\sqrt{r}+7\sqrt{p}-(r+2p)/2$. Независимо от $p$, максимум достигается при $r=16$. Максим будет максимизировать по $p$ значение величины $\sqrt{r}+6\sqrt{p}-(r+2p)/2$. Независимо от $r$, максимум достигается при $p=9$. Таким образом, уровни счастья будут равны 20 для Саши и 5 для Максима. $5<6,5$, и потому Максиму стало только хуже. Почему это произошло, несмотря на то, что в пункте 2 , Максим не должен оплачивать покупку пылесоса - товара более дорогого с точке зрения цены единицы качества - самостоятельно? Все дело в том, что складчина изменила поведение соседей. В пункте 2 каждый из соседей принимает во внимание лишь половину своих расходов, ожидая, что другая половина будет оплачена другим соседом. В результате, соседи покупают гораздо более дорогие (хоть и качественные) роутер и пылесос. В данном конкретном примере, эффект от того, что Максиму приходится оплачивать половину расходов на дорогой роутер, купленный Сашей, превосходит эффект от возвросшего качества роутера, и потому Максиму становится хуже. Заметьте, что если бы соседи не изменили поведение, а выбрали те же уровни качества товаров, что и в пункте 1 , Максиму действительно стало бы лучше по сравнению с пунктом 1 . Наблюдения в 2 показывают, что складчина имеет два эффекта — (i) рост качества купленных товаров и (ii) рост расходов. Это дает надежду подобрать такой пример, в котором эффект (i) будет для каждого из ребят сильнее, чем эффект (ii), и потому счастье обоих вырастет по сравнению с 1 . И действительно, такой пример можно подобрать. Рассмотрим ситуацию, когда Максим оплачивает 40% суммарных расходов, то есть $\alpha=0,4$. В этом случае Саша будет максимизировать по $r$ $4\sqrt{r}+7\sqrt{p}-0,6(r+2p)$, откуда $r=100/9$; Максим будет максимизировать по $p$ величину $\sqrt{r}+6\sqrt{p}-0,4(r+2p)$, откуда $p=225/16$. Уровни счастья будут равны примерно $16 >14,5$ для Саши и примерно $10,14 > 6,5$ для Максима. Таким образом, оба будут более счастливы. То, что обоим стало лучше по сравнению с пунктом 1 , говорит о том, что ситуация в 1 была неэффективной . Неэффективность возникает из того, что в 1 каждый, хоть и учитывает полностью расходы на покупаемый им товар, не учитывает при принятии решения влияние качества покупаемого товара на счастье соседа, и потому ими покупаются товары слишком низкого (с точки зрения общества) качества. При складчине каждый не боится потратить слишком много, купив товар высокого качества, что в ряде случае может <<исправить>> неэффективность.