Задача 2 ОЧ-2016 (8 класс)
У выигравшего в лотерею 100 000 рублей учителя Николая Петровича есть два варианта распоряжения новоприобретенными деньгами – он может либо вложить их в дело своей жены, Натальи Сергеевны, чтобы расширить производство её компании по изготовлению шляпок, либо положить деньги в Банк «Выгодный» в качестве вклада (комбинировать два этих варианта нельзя). Банк «Выгодный» предлагает Николаю Петровичу очень выгодную процентную ставку – 50% годовых. (Процент начисляется в конце года на сумму, лежащую в банке на момент начисления, то есть с учётом предыдущих начислений). Наталья Сергеевна уверена, что, если Николай Петрович инвестирует деньги в её компанию, уже через 3 года она сможет вернуть ему эти деньги в тройном размере (за вычетом 9-процентного налога на прибыль с окончательной суммы). Пытаясь решить, как лучше поступить, Николай Петрович внимательно вчитывается в договор на вклад с Банком «Выгодный» и видит пункт мелким шрифтом, говорящий о том, что, начиная со второго года, Банк «Выгодный» будет уменьшать процентную ставку на фиксированное (Х) количество процентных пунктов. Найдите максимальный X, при котором Николаю Петровичу будет выгодно отнести деньги в Банк, тем самым расстроив свою жену.
Решение
1) Вычислим, сколько денег Н. П. получит, если инвестирует выигрыш в компанию жены. Инвестиции вернут в тройном размере, за вычетом 9 процентного налога на прибыль с окончательной суммы. $100000 \times3 = 300000$ р – прибыль до налога. $300000 \times (1,00 – 0,09) = 273000$ р – столько Н. П. получит денег, если отдаст их жене. 2) Если Н. П. отнесет деньги в Банк «Выгодный», то: - к концу первого года он будет иметь $100000 \times (1 + 0,5) = 150000$ р. - к концу второго года (когда Банк уменьшит ставку на X %) $150000 + 150000 \times (0,5 – X)$ р - к концу третьего года (ставка уменьшится еще на X %) на счету будет: $150000 + 150000 \times (0,5 – X) + \left[150.000 + 150000 \times (0,5 – X)\right]\times(0,5 – 2X)$ р 3) Теперь составим уравнение. Необходимо найти максимальный X, при котором будет выгодно отнести деньги в Банк. То есть: $$150000 + 150000 \times (0,5 – X) + \left[150000 + 150000 \times (0,5 – X)\right]\times(0,5 – 2X) \geq273000$$ Для удобства (и так как нам надо найти максимальный X) будем рассматривать равенство данного выражения. $$\begin{array}{l}150000 + 150000 \times (0,5 – X) +\left [150000 + 150000 \times (0,5 – X)\right]\times(0,5 – 2X) = 273000\\ 150 + 150 \times (0,5 – X) + (150 + 75 – 150X)\times(0,5 – 2X) = 273 \\ 150 + 75 – 150X + (225 – 150X)\times(0,5-2X) = 273 \\ 225 – 150X + 112,5 – 450X – 75X +300X^2 – 273 = 0 \\ 300X^2 - 675X + 64,5 = 0 \\ X^2 – 2,25X +0,215 = 0 \\ (X – 0,1)\times (X – 2,15) = 0 \text{ (здесь можно воспользоваться формулой дискриминанта)}\\ X=2,15 \text{ – корень не подходит} \\ X=0,1 \text{ – ответ} \end{array}$$ Ответ: Максимальный X, при котором Николаю Петровичу будет выгодно отнести деньги в Банк «Выгодный», равен 10 процентным пунктам.