Жители маленькой страны Гиперляндия производят потребляют товары X и Y
Жители маленькой страны Гиперляндия производят и потребляют товары X и Y. Страна имеет КПВ следующего вида: $X^2+Y^2=100$. На мировом рынке в обмен на единицу товара X можно купить или продать $\sqrt{3}$ единиц товара Y. Известно, что товары X и Y для жителей страны Гиперляндии являются совершенными комплементами, то есть жители страны получают максимальное удовольствие при потреблении их в определённой пропорции. Найдите эту пропорцию, если известно, что оптимальным для страны решением является быть автаркией (не вести международную торговлю).
Решение
Обмен выгоднее всего будет производить при максимизации денежного дохода (выразим доход в иксах):
$$X+P_{Y/X}Y= X+\sqrt{3}*\sqrt{100-X^2}\rightarrow \max$$
$$(X+\sqrt{3}*\sqrt{100-X^2})^{'}=1-\sqrt{3}*2X*\frac{1}{2\sqrt{100-X^2}}=0$$
$$\sqrt{3}X=\sqrt{100-X^2}\Leftrightarrow 3X^2=100-X^2\Leftrightarrow\begin{cases}
X=5
Y=5\sqrt{3}
\end{cases} $$
Из этой точки выводится КТВ с наклоном $\sqrt{3}$
Но так как стране выгоднее быть автаркией, то это значит, что её оптимум совпадает с производственной точкой, которая одновременно лежит и на КТВ, и на КПВ, тогда пропорция X к Y: $X:Y=1:\sqrt{3}$
$$X+P_{Y/X}Y= X+\sqrt{3}*\sqrt{100-X^2}\rightarrow \max$$
$$(X+\sqrt{3}*\sqrt{100-X^2})^{'}=1-\sqrt{3}*2X*\frac{1}{2\sqrt{100-X^2}}=0$$
$$\sqrt{3}X=\sqrt{100-X^2}\Leftrightarrow 3X^2=100-X^2\Leftrightarrow\begin{cases}
X=5
Y=5\sqrt{3}
\end{cases} $$
Из этой точки выводится КТВ с наклоном $\sqrt{3}$
Но так как стране выгоднее быть автаркией, то это значит, что её оптимум совпадает с производственной точкой, которая одновременно лежит и на КТВ, и на КПВ, тогда пропорция X к Y: $X:Y=1:\sqrt{3}$