Суммарная кривая Лоренца двух регионов
Найдите суммарную кривую Лоренца для двух регионов.
Подпункты
а)
В первом регионе доход равен $I_1 = 1$, а население $N_1 = 1$. Во втором регионе доход равен $I_2 = a$, а население $N_2 = 1$. Во втором регионе доходы распределены равномерно, а в первом регионе кривая Лоренца представлена функцией $y = x^2$.
б)
В первом регионе доход равен $I_1 = 1$, а население $N_1 = 1$. Во втором регионе доход равен $I_2 = a$, а население $N_2 = 1$. В обоих регионах кривая Лоренца представлена функцией $y = x^2$.
Решение
а)Если $a\leq 2$
$y=\begin{cases}
\frac{4x^2}{1+a}, x\leq 0.25a
\frac{2ax-0.25a^2}{1+a} 0.25a\leq x\leq 0.25a+0.5
\frac{a+(2x-1)^2}{1+a}, 0.25a+0.5 \leq x \leq 1
\end{cases}$
Если $a>2$
$y=\begin{cases}
\frac{4x^2}{1+a}, x\leq 0.5
\frac{2ax-a+1}{1+a}, 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}$
б)Без ограничения общности скажем что $a>1$
Тогда ответ
$y=\begin{cases}
\frac{4ax^2}{(a+1)^2}, x\leq \frac{a+1}{2a}
\frac{a(2x-1)^2+1}{1+a}, \frac{a+1}{2a} \leq x \leq 1
\end{cases}$
$y=\begin{cases}
\frac{4x^2}{1+a}, x\leq 0.25a
\frac{2ax-0.25a^2}{1+a} 0.25a\leq x\leq 0.25a+0.5
\frac{a+(2x-1)^2}{1+a}, 0.25a+0.5 \leq x \leq 1
\end{cases}$
Если $a>2$
$y=\begin{cases}
\frac{4x^2}{1+a}, x\leq 0.5
\frac{2ax-a+1}{1+a}, 0.5\leq x\leq 1
\end{cases}$
б)Без ограничения общности скажем что $a>1$
Тогда ответ
$y=\begin{cases}
\frac{4ax^2}{(a+1)^2}, x\leq \frac{a+1}{2a}
\frac{a(2x-1)^2+1}{1+a}, \frac{a+1}{2a} \leq x \leq 1
\end{cases}$