Сложение линейного и нелинейного Лоренца.

Вспомним, что если у нас есть кривая Лоренца f(x), общая численность населения: N, и их суммарный доход I, то доход человека x, можно рассчитать как: $$\frac{df(x)}{dx}\cdot \frac{I}{N}$$ Рассчитаем доход человека x в первой стране: $$2x \cdot \frac{100}{10}=20x$$ а теперь доход во второй стране: $$\begin{cases} 9 \{ 0 \leq x \leq 0.5\}\\ 51 \{ 0.5 < x \leq 1\} \end{cases}$$ Заметим, что при крайне малых x, доход в первой стране какого-то человечишки, будет меньше, чем во второй. Поэтому изначально мы будем набирать людей из 1 страны, до тех пор, пока доход не станет равным самому бедному из 2 страны: а именно: $$20x=9$$ до точки: $$x_1=\frac{9}{20}$$ мы будем набирать людей из 1 страны. $$x_1 \leq \frac{9}{20}$$ $$x_2=0$$ Запишем доход в 1объединенной стране: $$Y^*=\frac{y_1(x_1) \cdot I_1+y_2(x_2) \cdot I_2}{I_1+I_2}$$ $$Y^*=\frac{x_1^2 \cdot 100+0.3 \cdot 0 \cdot 210}{310}$$ $$Y^*=\frac{x_1^2 \cdot 100}{310}$$ Теперь запишем население в объединенной стране: $$X^*=\frac{x_1 \cdot N_1+x_2 \cdot N_2}{N_1+N_2}$$ $$X^*=\frac{10 \cdot x_1}{17}$$ $$x_1=\frac{17X^*}{10}$$ $$Y^*=\frac{289X^2}{310}$$ Если $$\{ \frac{9}{34} > X\geq 0\}$$ $$\frac{9}{34}$$ Взялось из-за этого ограничения: $$x_1 \leq \frac{9}{20}$$ Теперь мы набрали уже $\frac{9}{20}$ $x_1$ и теперь мы будем набирать всю первую группу из второй страны: пока они не закончатся: $$x_1=\frac{9}{20}$$ $$x_2 \neq 0$$ $$Y^*=\frac{\frac{81}{4}+63x_2}{310}$$ $$X^*=\frac{\frac{9}{2}+x_2 \cdot 7}{17}$$ $$Y^*=\frac{\frac{81}{4}+63(\frac{17X^*-\frac{9}{2}}{7})}{310}$$ Если: $$\{ \overline{x} > x\geq \frac{9}{34}\}$$ Найдем верхнее ограничение на x, а именно: $\overline{x}$ Мы уже набрали $\frac{9}{20}$ Из первой страны и еще набрали 0.5 из второй страны. Таким образом в общей стране их доля будет равной: $$\overline{x}=\frac{\frac{9}{20} \cdot 10+0.5 \cdot 7}{17}=\frac{8}{17}$$ теперь мы набрали $$\frac{9}{20}$$ из первой страны, всю первую группу из второй страны, остается понять, кто беднее, остальные люди из 1 страны или вторая группа из второй страны, вспомним, что доход каждого человека из 2 страны 2 группы составляет 51 ден. ед, а доход человека x, в 1 стране задается как: $20x$ $x \in [0:1]$ Поэтому самый богатый из 2 страны беднее самого бедного из 2 группы 2 страны, значит мы будем донабирать людей по максимуму из 1 страны: $$x_2=0.5 \cdot 7$$ $$x_1=\frac{9}{20}+x_1$$ $$Y^*=\frac{(\frac{9}{20}+x_1)^2 \cdot 100+ 0.5 \cdot 0.3 \cdot 210}{310}$$ $$X^*=\frac{(\frac{9}{20}) \cdot 10+0.5 \cdot 7}{17}$$ $$Y^*=\frac{(\frac{9}{20}+\frac{17x-8}{17})^2 \cdot 100+31.5}{310}$$ $$\{ \overline{x} > X \geq \frac{8}{17}\}$$ найдем $\overline{x}$ мы набрали всех десятерых из первой страна и еще 3.5 из второй: $$\overline{x}=\frac{13.5}{17}$$ $$\{\frac{13.5}{17} > X \geq \frac{8}{17}\}$$ Ура! осталось немного, вывести последний кусок, а именно мы теперь набираем всю остальную вторую группу из 2 страны, понятно как это сделать: просто уже запишу итоговый ответ: $$Y^*(X^*)=\begin{cases} \frac{289X^2}{310} \{ \frac{9}{34} > X\geq 0\}\\ \frac{\frac{81}{4}+63(\frac{17X^*-\frac{9}{2}}{7})}{310} \{ \frac{8}{17} > x \geq \frac{9}{34}\}\\ \frac{(\frac{9}{20}+\frac{17x-8}{17})^2 \cdot 100+31.5}{310} \{\frac{13.5}{17} > X \geq \frac{8}{17}\}\\ \frac{100+(1.7 \cdot (\frac{17X-13.5}{7})+31,5}{310} \{1\geq X \geq \frac{13.5}{17} \} \end{cases}$$ Ответ: $$Y^*(X^*)=\begin{cases} \frac{289X^2}{310} \{ \frac{9}{34} > X\geq 0\}\\ \frac{\frac{81}{4}+63(\frac{17X^*-\frac{9}{2}}{7})}{310} \{ \frac{8}{17} > x \geq \frac{9}{34}\}\\ \frac{(\frac{9}{20}+\frac{17x-8}{17})^2 \cdot 100+31.5}{310} \{\frac{13.5}{17} > X \geq \frac{8}{17}\}\\ \frac{100+(1.7 \cdot (\frac{17X-13.5}{7})+31,5}{310} \{1\geq X \geq \frac{13.5}{17} \} \end{cases}$$