Я больше не буду играть в эту игру
Девочка Элли располагает доходом $I = 20$ и тратит его исключительно на потребление уникального товара под названием «Маги в Шогилу». Полезность Элли задается функцией ${U = -q^2 + 42q - 2pq}$, где $q$ – количество потребленных Магов в Шогилу, $p$ – цена, по которой Элли их купила. Считайте, что Элли воспринимает цену $p$ как заданную. Маги в Шогилу продает фирма-монополист «Голлы Ралександра», его функция издержек задается как $TC = 6q$. Фирма максимизирует свою прибыль. При этом монополист может выбрать заплатить $\alpha^2$ денежных единиц загадочной подруге Элли – Йонмель, которая в таком случае будет готова приобрести $\alpha$ единиц Магов в Шогилу по той же цене, что и Элли. Если Элли приобретет $0$ единиц товара, Йонмель не купит ничего и обиженно уйдет вместе с подругой.
Подпункты
а)
(10 баллов) Выведите рыночный спрос в зависимости от $\alpha$.
б)
(15 баллов) Определите значение $\alpha$, которое выберет монополист, и найдите прибыль, которую он получит.
в)
(5 баллов) Предположим теперь, что деятельностью «Голлы Ралександра» недоволен верховный орган правительства – Суд Фортуны. Через особые каналы воздействия Суд Фортуны добился того, что издержки монополиста возросли до $TC = 10q$, а плата, которую необходимо отдавать Йонмель возрасла до $5\alpha^2 + 6$. Определите новое равновесное значение $\alpha$ и прибыль монополиста.
Решение
Бюджетное ограничение Элли: $pq \leqslant 20$ или $q \leqslant \frac{20}{p}$. Промаксимизируем полезность: $$U = -q^2 + (42 - 2p)q \rightarrow \underset{q \geqslant 0}{max}$$ $$q^* = \frac{42 - 2p}{2} = 21 - p$$ Очевидно, что количество товара не может быть отрицательным, поэтому $p \leqslant 21$. Проверим, при каких значениях цены выполняется бюджетное ограничение: $$21 - p \leqslant \frac{20}{p} \Rightarrow p^2 - 21p + 20 \geqslant 0 \Rightarrow (p - 20)(p - 1) \geqslant 0$$ $$\left[ \begin{gathered} 0 \leqslant p \leqslant 1 \\ 20 \leqslant p \leqslant 21 \end{gathered} \right.$$ Если бюджетное ограничение не выполняется, значит Элли тратит больше денег, чем имеет, поэтому в этом случае оптимальное потребление Магов в Шогилу будет равно $\frac{20}{p}$, т.е. она просто потратит весь свой доход. Так, можем записать спрос Элли на Маги в Шогилу: $$q^d = \begin{cases} 21 - P,& 0 \leqslant P \leqslant 1 \\ \frac{20}{P},& 1 < P < 20 \\ 21 - P,& 20 \leqslant P \leqslant 21 \\ 0,& P > 21 \end{cases} $$ Теперь добавим к спросу Элли спрос её подруги Йонмель и получим рыночный спрос на Маги в Шогилу в зависимости от $\alpha$: $$Q^d = \begin{cases} 21 + \alpha - P,& 0 \leqslant P \leqslant 1 \\ \frac{20}{P} + \alpha,& 1 < P < 20 \\ 21 + \alpha - P,& 20 \leqslant P < 21 \\ 0,& P \geqslant 21 \end{cases} $$ Рассмотрим 4 случая, в каждом из которых будем максимизировать прибыль монополиста. $Q^d = 21 - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$ $$\Pi_1 = 21P - P^2 - 126 + 6P = -P^2 +27P-126$$ Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине. $$P^* = \frac{27}{2} = 13,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]$$ Видно, что найденная цена не принадлежит нужному промежутку, поэтому выбираем ближайшее значение из промежутка (поскольку имеем дело с параболой ветвями вниз, чем дальше мы от вершины, тем меньше значение функции). Значит $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 540 - 126 = 14$. $Q^d = \frac{20}{P},~ P \in [1, 20]$ $$\Pi_2 = 20 - \frac{120}{P}$$ $$\Pi'_2 = \frac{120}{P^2} > 0 \forall P$$ Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное значение цены: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20 - 6 = 14$. $Q^d = 21 + \alpha - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$ $$\Pi_3 = 21P + \alpha P - P^2 - 126 - 6\alpha + 6P - \alpha^2 = -P^2 + (27 + \alpha)P - 126 - 6\alpha - \alpha^2$$ функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз по $P$, поэтому максимум – в вершине. $$P^* = \frac{27 + \alpha}{2} \Rightarrow \alpha \in [13, 15]$$ Подставим найденное значение цены в прибыль и промаксимизируем по $\alpha$: $$\Pi_3 = \frac{(27 + \alpha)^2}{4} - 126 - 6\alpha - \alpha^2 = -0,75\alpha^2 + 7,5\alpha + 56,25$$ Функция прибыли имеет вид параболы с ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине. $$\alpha^* = 5 \notin [13, 15]$$ Найденное оптимальное значение не принадлежит промежутку, поэтому будем брать ближайшее допустимое, т.е. $\alpha^* = 13 \Rightarrow \Pi_3 = -0,75\cdot 169 + 7,5 \cdot 13 + 56,25 = 27$. $Q^d = \frac{20}{P} + \alpha,~ P \in [1, 20]$ $$\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{120}{P} - 6\alpha - \alpha^2 = -\alpha^2 + (P - 6)\alpha + 20 - \frac{120}{P}$$ Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $\alpha$, поэтому максимум – в вершине. $$\alpha^* = \frac{P - 6}{2}$$ Подставим полученное значение обратно в прибыль: $$\Pi_4 = \frac{(P - 6)^2}{4} + 20 - \frac{120}{P}$$ $$\Pi'_4 = \frac{P - 6}{2} + \frac{120}{P^2} > 0~ \text{при допустимых} ~a$$ Получили, что производная всегда положительна на ограничении, значит будем выбирать наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 49 + 20 - 6 = 63$. Таким образом, наибольшее значение прибыли получили в четвёртом случае. В этом случае монополист выбирает $P^* = 20$, а значит $\alpha = \frac{20 - 6}{2} = 6$, а прибыль равна 63. Точно так же, как и в предыдущем пункте рассмотрим 4 случая. $Q^d = 21 - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$ $$\Pi_1 = 21P - P^2 - 210 + 10P = -P^2 + 31P - 210$$ Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, значит максимум – в вершине. $$P^* = \frac{31}{2} = 15,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]$$ Найденное оптимальное значение не принадлежит допустимому промежутку, поэтому выбираем ближайшее: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 620 - 210 = 10.$ $Q^d = \frac{20}{P},~ P \in [1, 20]$ $$\Pi_2 = 20 - \frac{200}{P}$$ $$\Pi'_2 = \frac{200}{P^2} > 0$$ Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20 - 10 = 10$. $Q^d = 21 + \alpha - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$ $$\Pi_3 = (21 - P)P + \alpha P - 10(21 - P) - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + (21 - P)(P - 10) - 6$$ Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине. $$P^* = \frac{P - 10}{10}$$ Подставим найденное значение цены обратно в прибыль: $$\Pi_3 = \frac{(P - 10)^2}{20} - (P - 21)(P - 10) - 6$$ $$\Pi'_3 = \frac{P - 10}{10} - P + 10 - P + 21 - 6 = 0$$ $$P^* = \frac{240}{19} \notin [0, 1] \cup [20, 21]$$ Найденное оптимальное значение не принадлежит оптимальному промежутку, выбираем ближайшее: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_3 = 5 + 10 - 6 = 9$. $Q^d = \frac{20}{P} + \alpha,~ P \in [1, 20]$ $$\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{200}{P} - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + 14 - \frac{200}{P}$$ Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $\alpha$, значит максимум – в вершине. $$\alpha^* = \frac{P - 10}{10}$$ Подставим найденное значение обратно в прибыль: $$\Pi_4 = \frac{(P - 10)^2}{20} - \frac{200}{P} + 14$$ $$\Pi'_4 = \frac{P - 10}{10} + \frac{200}{P^2} > 0$$ Получили, что производная положительна для всех допустимых $P$, значит функция все время возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 5 - 10 + 14 = 9$. Получили, что наибольшая прибыль монополиста при новых условиях равна $10$ и достигается в условиях отсутствия торговли с Йонмель, т.е. при $\alpha = 0$.