Логарифмические линейки и налоги в процентах от цены
Король одного государства решил пополнить казну, обложив налогом рынок логарифмических линеек. – Знаешь ли, – говорит Король своему новому советнику, Юному Экономисту, – «абсолютные потоварные» налоги мне надоели, хочу ввести налог в процентах от цены. Только вот не знаю, от какой цены: от «новой» или от «старой». – А что это значит? Мы такого не проходили, – расстроился Юный Экономист. – Ну смотри. Если я ввожу налог в размере X% от «новой» цены, то это значит, что X% от цены каждой логарифмической линейки, которая продается в нашей стране, идет мне в карман. Если же от «старой», то это значит, что при каждом конкретном количестве продаваемых линеек в мой карман попадает сумма, равная X% того, что получает продавец. По-другому: "старая" цена соответствует некоторому количеству на старой кривой предложения, а "новая" цена соответствует тому же количеству на кривой предложения, измененной с учётом налога - на "новой" кривой предложения. Теперь понятно? – Понятно. Нам еще что-то рассказывали про «цену покупателя» и «цену продавца»… – Ну так вот. Налог я введу небольшой, 20%; а от «новой» или от «старой» – как будет выгоднее для казны. Доставай блокнот. Предложение: Qs=12ln(5p/16)+5p+1; спрос: Qd=-12ln(р)+4p+1. Цена – в тугриках, количество – в тысячах линеек. Если цена 2,5 тугрика и выше, спрос отсутствует; впрочем, говорят, таких высоких цен там никогда не бывает. Только ты не торопись сразу считать, а то с ума сойдешь. Тут до тебя был Старый Экономист, так он считал-считал, да и подал в отставку. Говорит, там что-то такое транс… ценс… денс… Ну, в общем, за гранью разумного. Ты лучше сначала поупражняйся на рынке обычных линеек, там предложение и спрос что ни на есть линейные: Qs=20p-108; Qd=100-10p. Проведи расчеты и выясни, в каком случае налоговые поступления будут больше: если продавцов обычных линеек обложить налогом в 20% от «новой» цены или от «старой». Какой способ здесь окажется выгоднее, тот и применим к рынку логарифмических линеек. Мне принесешь отчет: сколько после введения налога будет продано этих линеек и по какой цене; каковы будут налоговые сборы. * * * А теперь представьте, что вы – Юный Экономист. Проведя необходимые расчеты, определите способ налогообложения и предоставьте вышеописанный «отчет».
Решение
В этой задаче проверяется умение находить функции предложения, измененные под влиянием косвенных налогов. В случае с абсолютными потоварными налогами все довольно просто. Если вводится налог в размере T рублей с единицы, то при каждом возможном Q цена покупателя будет на T выше; предложение сдвигается на T единиц вверх, т.е. в направлении оси аргументов. Поэтому новую формулу предложения можно получить, используя элементарные сведения о преобразовании графиков из школьного курса алгебры: подставив в старую формулу (P-T) вместо P, получим новую формулу: Qsн=Qsст(P-T). Если налог берется в процентах, то ситуация немного усложняется. Самый простой, «лобовой» способ здесь – выразить P через Q и осуществить вполне очевидные преобразования, после чего опять выразить Q через P. Допустим, мы выразили P через Q в первоначальной формуле, т.е. получили выражение для Pст (Pстарой). Если налог берется в размере T% от старой цены, то мы просто умножаем полученное выражение на (1+t), где t=T/100 – ставка налога в долях. Pст=f(Q); (1+t)*Pст=(1+t)*f(Q). Но т.к. (1+t)*Pст=Pн (Pновая) по определению, то мы и получили выражение Pн через Q; остается только выразить Q через Pн, и получим новую функцию предложения. Если налог берется в размере T% от новой цены, то из очевидного выражения Pст+t*Pн=Pн получаем Pн=Pст/(1-t). Теперь, найдя выражение Pст=f(Q), выполняем действия, аналогичные вышеописанным: Pст/(1-t)=f(Q)/(1-t); Pн=f(Q)/(1-t). А что делать, если мы не можем получить явного выражения P через Q? Что, если функция предложения чуть посложнее, чем линейная? Выход есть. Обратимся к рисунку. Здесь Sст – первоначальная функция предложения, Sн – функция предложения после введения налога. Пусть мы знаем явное выражение Qст от Pст, но не можем выразить Pст через Q. Однако, используя данные из условия задачи, мы без труда можем выразить формулой связь между Pст и Pн в каждой точке. Зафиксируем Q на уровне Q*. В этой точке верно следующее: Qн(Pн)=Qст(Pст)=Q*. Но ведь эта формула верна для любого Q*! Посмотрим теперь на равенство Qн(Pн)=Qст(Pст). В левой части находится то, что нам надо найти – явное выражение Qн через Pн; в правой части – явное выражение Qст через Pст. Поскольку это равенство выполняется в любой точке, нам достаточно подставить выражение Pст через Pн в формулу Qст(Pст), и мы получаем искомое явное выражение для Qн. Возможны два случая: 1) Налог берется в размере T% от старой цены, т.е. Pст+t*Pст=Pн, где t=T/100 – ставка налога в долях. Отсюда Pст=Pн/(1+t). 2) Налог берется от новой цены, т.е. Pст+t*Pн=Pн. В этом случае Pст=Pн*(1-t). В этой задаче специально введены такие функции спроса и предложения, чтобы нельзя было явно выразить P через Q (здесь мы сталкиваемся с т.н. трансцендентными уравнениями, название которых не смог выговорить наш Король). В этом случае нельзя обойтись только «лобовым методом». Применим наши рассуждения на практике: Сначала рассчитаем сумму налоговых поступлений с рынка обычных линеек. Qsст=20P-108; Qd=100-10P. 1. 20% от Pст. Qsн=20(Pн/(1+0,2))-108=50Pн/3-108. Приравниваем к Qd: 50Pн/3-108=100-10Pн. Отсюда Pн=7,8; Qн=22; Pст=Pн/1,2=6,5. Налоговые поступления: НП1=0,2*6,5*22=28,6. 2. 20% от Pн. Qsн=20(Pн*(1-0,2))-108=16Pн-108. Приравниваем к Qd: 16Pн-108=100-10Pн. Отсюда Pн=8; Qн=20. Налоговые поступления: НП2=0,2*8*20=32. НП2>НП1, значит, выполняя приказ Короля, рынок логарифмических линеек нужно облагать налогом от новой цены. Qsст=12ln(5P/16)+5P+1; Qd=-12ln(P)+4P+1. Найдем новую функцию предложения: Qsн=12ln(5*Pн*(1-0,2)/16)+5*Pн*(1-0,2)+1=12ln(Pн/4)+4Pн+1. Приравниваем к Qd: 12ln(Pн/4)+4Pн+1=-12ln(Pн)+4Pн+1; ln(Pн/4)+ln(Pн)=0; ln(Pн2/4)=0; Pн2/4=1; Pн=2; Qн=0,682. Налоговые поступления: НП=0,2*2*0,682=0,2728 (тысяч тугриков). Ответ: Ответ: Q=682 линейки; P=2 тугрика; НП=272,8 тугриков.