Упрощёнка
В современной России некоторые фирмы могут применять так называемую упрощенную систему налогообложения , при которой можно выбирать, какой налог — на выручку или на прибыль — платить. Рассмотрим подобную систему в рамках простой модели. Представим себе фирму на рынке совершенной конкуренции, функция издержек которой описывается уравнением $TC=0,5q^{2}+10q$, где $q$ — объем выпуска. Государство предлагает фирме на выбор два налога — налог в размере 10% от выручки или в размере 36% от прибыли (эти ставки отличаются от действующих в современной России). При каждой цене $P$ фирма решает, сколько единиц продукции произвести и какой из двух налогов платить. Фирма максимизирует прибыль. Выведите уравнение функции предложения фирмы. Может ли в данном случае фирма при росте цены снизить выпуск? (Если да, то приведите пример, если нет, то обоснуйте.)
Решение
Найдем сначала оптимальный выпуск фирмы, если она выбрала определенный налог. 1) Налог на выручку. Фирма будет максимизировать $$\pi_\bigtriangledown(q)=(1-0,1)TR(q)-TC(q)=0,9pq-0,5q^{\,2}-10q.$$ Графиком функции прибыли является парабола с ветвями вниз, поэтому оптимальный выпуск находится в ее вершине, если абсцисса вершины неотрицательна, и равен нулю в противном случае: $q=0,9p-10$ при $p\geqslant 100/9$ и $q=0$ при $p< 100/9$. Максимальная прибыль при этом составит $$\pi_\bigtriangledown(p)= \begin{cases} 0,&\text{ если } p< 100/9;\\ \dfrac{(0,9p-10)^2}{2},&\text{ если } p \geqslant 100/9.\\ \end{cases}$$ 2) Налог на прибыль. Фирма будет максимизировать $$\pi_\bigtriangleup(q)=(1-0,36)\left(TR(q)-TC(q)\right)=0,64(pq-0,5q^{\,2}-10q).$$ Графиком функции прибыли вновь является парабола с ветвями вниз, поэтому оптимальный выпуск находится в ее вершине, если абсцисса вершины положительна, и равен нулю в противном случае: $q=p-10$ при $p\geqslant 10$ и $q=0$ при $p<10$. Максимальная прибыль при этом составит $$\pi_\bigtriangleup(p)= \begin{cases} 0,&\text{ если } p< 10;\\ 0,64\dfrac{(p-10)^2}{2},&\text{ если } p \geqslant 10.\\ \end{cases}$$ 3) Теперь найдем, при каких ценах выгоднее выбирать налог на выручку, а при каких — налог на прибыль. Выбирать налог на выручку выгоднее, если $\pi_\bigtriangledown(p)>\pi_\bigtriangleup(p)$. Разобьем значения цены на интервалы в соответствии с полученными выше результатами: $p\le 10$. В этом случае оптимальный выпуск при двух налогах совпадает и равен 0. $10 < p\le 100/9$. В этом случае $\pi_\bigtriangleup(p) > 0$, а $\pi_\bigtriangledown(p)=0$ — лучше выбирать налог на прибыль и производить $q=p-10$. $p > 100/9$. В этом случае налог на прибыль выгоднее, если $$0,64\frac{(p-10)^2}{2}>\frac{(0,9p-10)^2}{2}.$$ Это неравенство легко решить, умножая обе части на 2 и извлекая квадратный корень (выражения в скобках положительны). Получаем $p< 20$ — условие, при котором налог на прибыль (и производить $q=p-10$) выгоднее. При $p >20$ выгоднее выбирать налог на выручку (и производить $q=0,9p-10$), при $p=20$ варианты равнозначны. В итоге, функция предложения фирмы будет описываться уравнением $$q_s(p)= \begin{cases} 0,&\text{если } p<10;\\ p-10,&\text{если } 10\leqslant p\leqslant 20;\\ 0,9p-10,&\text{если } p\geqslant 20. \end{cases}$$ (При $p=20$ оба выпуска ($p-10$ и $0,9p-10$) являются оптимальными.) При росте цены фирма может снизить выпуск. Например, при росте цены с 19 до 21 фирме выгодно снизить выпуск с 9 до 8,9 единиц.