Тест состоит из 10 вопросов, в каждом из которых 4 варианта ответов (и только од
Тест состоит из 10 вопросов, в каждом из которых 4 варианта ответов (и только один правильный). Студент Вася учился не очень хорошо, если вообще учился, и теперь его единственная надежда — угадывать правильные ответы, полагаясь исключительно на удачу. Ни один из вопросов Вася не оставит пустым, потому что подавать вид, что он ничего не знает, Вася не хочет.
Пусть $X$ — число правильных ответов Васи.
Пусть $X$ — число правильных ответов Васи.
Подпункты
а)
Найдите распределение $X$.
б)
Найдите $E \, (X)$.
в)
Предположим, каждый правильный ответ дает $+1$ к итоговому баллу, а каждый неверный — $-0.25$ от итогового балла. Пусть $Y$ — итоговый балл Васи. Найдите $E \, (Y)$.
Решение
$X \sim Bin (n=10, \, p=0.25)$
Основная идея — НЕ надо считать матожидание по явной формуле.
Надо представить $X = Z_1 + \dots + Z_{10}$, где все $Z_i$ независимы и
$Z_i \sim Bern(p=0.25)$.
Тогда $E \, (X) = \sum_i E \, (Z_i) = 10 * E \, (Z_1) = 2.5$
Аналогично пункту б), только теперь $Y = \sum_i Z_i$ и $Z_i$ принимает значения 1 с вероятностью 0.25 и -0.25 с вероятностью 0.75.
Тогда $E \, (Y) = 5/8$.
Основная идея — НЕ надо считать матожидание по явной формуле.
Надо представить $X = Z_1 + \dots + Z_{10}$, где все $Z_i$ независимы и
$Z_i \sim Bern(p=0.25)$.
Тогда $E \, (X) = \sum_i E \, (Z_i) = 10 * E \, (Z_1) = 2.5$
Аналогично пункту б), только теперь $Y = \sum_i Z_i$ и $Z_i$ принимает значения 1 с вероятностью 0.25 и -0.25 с вероятностью 0.75.
Тогда $E \, (Y) = 5/8$.