Часто считается, что фирмы должны учитывать интересы общества
Часто считается, что фирмы должны учитывать интересы общества. Рассмотрим фирму ABC, которая максимизирует не прибыль, а
$B=\pi-16u^2$, где $\pi$ — прибыль фирмы, а $u$ — уровень безработицы в стране (в процентах).
В стране живут 100 человек. Из них 70 стабильно заняты на других производствах и не собираются работать в ABC. Остальные 30 человек — безработные, и фирма ABC нанимает работников только из их числа (других работодателей для них нет).
Спрос на продукцию ABC: $Q=120-P$.
Фирма производит товар, используя только труд: $Q=2L$, где $L$ — число работников, нанятых фирмой.
Если фирма нанимает $L$ работников, то каждому платится зарплата $w=4L$.
$B=\pi-16u^2$, где $\pi$ — прибыль фирмы, а $u$ — уровень безработицы в стране (в процентах).
В стране живут 100 человек. Из них 70 стабильно заняты на других производствах и не собираются работать в ABC. Остальные 30 человек — безработные, и фирма ABC нанимает работников только из их числа (других работодателей для них нет).
Спрос на продукцию ABC: $Q=120-P$.
Фирма производит товар, используя только труд: $Q=2L$, где $L$ — число работников, нанятых фирмой.
Если фирма нанимает $L$ работников, то каждому платится зарплата $w=4L$.
Подпункты
а)
Найдите выбор $L$, максимизирующий прибыль $\pi$, и соответствующий уровень безработицы $u_\pi$.
б)
Найдите выбор $L$, максимизирующий цель $B$, и соответствующий уровень безработицы $u_B$.
в)
На сколько процентных пунктов безработица ниже при максимизации $B$, чем при максимизации прибыли?
Решение
Шаг 1. Связь занятости и безработицы.
Так как население равно 100, уровень безработицы (в процентах) равен числу безработных людей.
Если фирма нанимает $L$ человек из 30 безработных, то $u=30-L$, причём $0\le L\le 30$.
Шаг 2. Прибыль как функция $L$.
Из спроса $Q=120-P$ получаем обратный спрос $P=120-Q$. Так как $Q=2L$, то $P=120-2L$.
Выручка: $TR=PQ=(120-2L)\cdot (2L)=240L-4L^2$.
Издержки на труд: общий фонд оплаты равен $wL=(4L)\cdot L=4L^2$.
Тогда прибыль: $\pi(L)=TR-TC=(240L-4L^2)-4L^2=240L-8L^2$.
1) Максимизация прибыли.
$\pi'(L)=240-16L=0$, откуда $L_\pi=15$.
Соответствующая безработица: $u_\pi=30-15=15\%$.
2) Максимизация $B=\pi-16u^2$.
Подставляем $u=30-L$:
$B(L)=\pi(L)-16(30-L)^2=(240L-8L^2)-16(30-L)^2$.
Раскроем квадрат: $(30-L)^2=900-60L+L^2$.
Тогда
$B(L)=240L-8L^2-16(900-60L+L^2)=240L-8L^2-14400+960L-16L^2$,
то есть
$B(L)=1200L-24L^2-14400$.
Условие первого порядка: $B'(L)=1200-48L=0$, откуда $L_B=25$.
Проверка допустимости: $0\le 25\le 30$ верно.
Соответствующая безработица: $u_B=30-25=5\%$.
3) Разница в процентных пунктах.
$u_\pi-u_B=15\%-5\%=10$ п.п.
Ответ: безработица ниже на $10$ процентных пунктов.
Так как население равно 100, уровень безработицы (в процентах) равен числу безработных людей.
Если фирма нанимает $L$ человек из 30 безработных, то $u=30-L$, причём $0\le L\le 30$.
Шаг 2. Прибыль как функция $L$.
Из спроса $Q=120-P$ получаем обратный спрос $P=120-Q$. Так как $Q=2L$, то $P=120-2L$.
Выручка: $TR=PQ=(120-2L)\cdot (2L)=240L-4L^2$.
Издержки на труд: общий фонд оплаты равен $wL=(4L)\cdot L=4L^2$.
Тогда прибыль: $\pi(L)=TR-TC=(240L-4L^2)-4L^2=240L-8L^2$.
1) Максимизация прибыли.
$\pi'(L)=240-16L=0$, откуда $L_\pi=15$.
Соответствующая безработица: $u_\pi=30-15=15\%$.
2) Максимизация $B=\pi-16u^2$.
Подставляем $u=30-L$:
$B(L)=\pi(L)-16(30-L)^2=(240L-8L^2)-16(30-L)^2$.
Раскроем квадрат: $(30-L)^2=900-60L+L^2$.
Тогда
$B(L)=240L-8L^2-16(900-60L+L^2)=240L-8L^2-14400+960L-16L^2$,
то есть
$B(L)=1200L-24L^2-14400$.
Условие первого порядка: $B'(L)=1200-48L=0$, откуда $L_B=25$.
Проверка допустимости: $0\le 25\le 30$ верно.
Соответствующая безработица: $u_B=30-25=5\%$.
3) Разница в процентных пунктах.
$u_\pi-u_B=15\%-5\%=10$ п.п.
Ответ: безработица ниже на $10$ процентных пунктов.