Плата за вход в Диснейленд
Месячный бюджет развлечений Саши составляет 100 долларов. Он тратит эти деньги на ежемесячный поход в «Диснейленд» и на прочие развлечения (кино, театр, мороженое и т. д.). Удовольствие Саши может быть описано следующей зависимостью: $u(x_{1},x_{2})=10\sqrt{x_{1} } +x_{2} $, где $x_{1} $ – количество посещенных аттракционов в Диснейленде, а $x_{2} $ – расходы (в долларах) на остальные развлечения. «Диснейленд» взимает плату за вход в парк в размере $A$ долларов, каждый аттракцион оплачивается отдельно в размере 1 доллар за одно посещение. При какой стоимости входного билета в «Диснейленд» Саша откажется от посещения парка?
Ответ
$A>25$
Решение
Функция полезности растёт по своим аргументам, поэтому лишних долларов у Саши не останется. Если он пойдёт в парк, то $x_2=100-A-1\cdot x_1$. Если не пойдёт, то $x_1=0$, а $x_2=100$. В каком случае будет больше полезность, тот и надо выбрать. Во втором случае всё просто: $u=100$, а в первом ещё надо выбрать оптимальные $x_1$ и $x_2$. Найдём оптимальный $x_1$, максимизируя $10\sqrt{x_1} +100-A- x_1$. Приравняв первую производную к нулю, получим $x_1=25$. Прикинув, как выглядит график функции, убедимся, что мы нашли максимум, а не минимум. Кто не уверен, можно проверить, что вторая производная в точке оптимума отрицательна. Подставим в функцию полезности: $u=125-A$. Если $A>25$, то это меньше 100, и значит, Диснейленд останется без Саши. Ответ: $A>25$