Собираю два баула
Небольшой аул живёт за счёт строительства домов градообразующим предприятием с технологией $Q=L$. Спрос на дома в каждом периоде задан функцией $Q_d=100-P$. Аул расширяется, поэтому предложение труда задаётся функцией $L_s=2^t\cdot w,$ где $t$ — номер периода (сейчас нулевой период). Найдите значение фактора дисконтирования $\delta$, если аул живёт бесконечное число периодов, фирма максимизирует приведённую прибыль, она заранее решила, что будет выирать одно значение выпуска для каждого периода. Оно оказалось равно 40.
Решение
В каждом периоде строится одинаковое число домов $q$, запишем функцию выручки за все периоды и свернём её по формуле бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \[TR=(100-q)q+(100-q)q\cdot \delta +(100-q)q\cdot \delta^2 + \dots = \dfrac{100q-q^2}{1-\delta} \] Функция издержек имеет следующий вид, так же сворачиваем её по формуле прогрессии: \[TC=q^2+\dfrac{q^2}{2}\cdot \delta+\dfrac{q^2}{2^2}\cdot \delta^2+\dots=\dfrac{q^2}{1-\frac{\delta}{2}}\] Запишем функцию приведённой прибыли и промаксимизируем её по $q$: \[\pi(q)=\dfrac{100q-q^2}{1-\delta}-\dfrac{q^2}{1-\frac{\delta}{2}}=\dfrac{100}{1-\delta}\cdot q - \left(\dfrac{1}{1-\delta}+\dfrac{2}{2-\delta}\right)\cdot q^2=\dfrac{100}{1-\delta}\cdot q -\dfrac{4-3\delta}{(1-\delta)(2-\delta)}\cdot q^2\] Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине: \[q^*=\dfrac{50(2-\delta)}{4-3\delta}=40\] Ответ: Получаем $\delta=6/7$.